Sabtu, 09 Januari 2010

RUANG DIMENSI

RUANG DIMENSI

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS ATAU BIDANG PADA BANGUN RUANG

1. Hubungan Antara Titik dan Garis
a. Terletak pada garis
Sebuah titik dapat terletak pada sebuah garis, misalnya pada gambar 1 titik E dan F terletak pada garis l.
b. Terletak diluar garis
Sebuah titik dikatakan terletak diluar sebuah garis apabila titik tersebut tidak terletak pada garis tersebut. Terletak diluar biasanya disingkat “di luar” misalnya titik A dan D di luar garis l.

2. Hubungan Antara Titik dan Bidang
a. Terletak pada bidang
Sebuah titik dapat terletak pada sebuah bidang, misalnya titik A, B, C dan D terletak pada bidang α.
b. Terletak diluar bidang
Sebuah titik dikatakan terletak diluar sebuah bidang apabila titik tersebut tidak terletak pada bidang tersebut, misalnya titik E, F, G dan H di luar bidang α.
Apabila dua buah titik terletak pada sebuah bidang maka garis yang melalui dua titik tersebut terletak pada bidang.
Apabila sebuah garis terletak pada sebuah bidang maka semua titik yang terletak pada garis tersebut terletak pada bidang.

3. Hubungan Antara Garis-Garis dalam Ruang
Apabila rusuk-rusuk pada sebuah balok diperpanjang sebuah garis lurus yang sering disingkat dengan “garis”.
Garis yang melalui titik A dan B dibebut garis AB

4. Hubungan Antara Bidang-Bidang
Daerah persegi panjang ABCD dapat diperluas terus-menerus tanpa batas, daerah yang terjadi disebut bidang datar, disingkat bidang. Bidang diberi nama dengan paling sedikit tiga titik yang terletak padanya, misalnya titik A, B, C dan D disebut bidang ABCD. Bidang biasanya digambar sebagai jajar genjang.
Kedudukan dua buah garis dalam ruang dapat sejajar, berpotongan dan bersilangan. Dua bidang disebut berimpit apabila semua titik dari kedua bidang tersebut berimpit.

5. Hubungan Antara Garis dan Bidang
Kedudukan sebuah garis dan sebuah bidang didalam ruang dapat dibedakan sebagai berikut :
a. Sejajar
Dikatakan sejajar jika garis dan bidang tersebut tidak mempunyai titik persekutuan.
b. Berpotongan
Dikatakan berpotongan jika garis dan bidang tersebut mempunyai tepat satu titik potong ( titik persekutuan ).
c. Terletak
Dikatakan terletak jika garis terletak pada bidang tersebut.

B. LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN RUANG
1. Pengertian-Pengertian pada Bangun Ruang
a. Sisi = bangun sisi
Yaitu daerah yang membatasi bangun ruang tersebut. (ABFE, DCGH dll )
b. Rusuk
Yaitu perpotongan antara dua sisi (rusuk berupa ruas garis).(AB, BC, CD, DA dll)
c. Titik sudut
Yaitu titik potong antara beberapa rusuk kubus. (A, B, C, D dan seterusnya)
d. Diagonal sisi = diagonal bidang
Yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada bidang sisi.(AC, BD, AE, BE dan lain-lain)
e. Diagonal ruang
Yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada bangun ruang tersebut ( AG, BH, DF, CE)
f. Bidang diagonal
Yaitu bidang yang melalui dua rusuk berhadapan yang tidak terletak pada satu bidang sisi (BCEH, ADFG, dan lain-lain)

2. KUBUS
Kubus dengan rusuk a cm maka :
Luas permukaan = 6a² cm²
Volume = a³ cm³

3. BALOK
Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah persegi panjang yang kongruen.
Luas permukaan = 2 (pl + pt + lt )
Volume = p x l x t


4. PRISMA
Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan oleh beberapa bidang yang memotong menurut garis-garis yang sejajar.
Dua bidang yang sejajar tersebut disebut bidang alas dan bidang atas, sedangkan bidang-bidang yang lain disebut bidang tegak atau sisi tegak.
a. Jenis-Jenis Prisma
Prisma ditentukan oleh bentuk bidang alas dan kedudukan rusuk tegak terhadap bidang alas.
1). Prisma segi –n adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk segi –n.
2). Prisma tegak adalah prisma yang rusuk tegaknya tegak lurus bidang alas.
3). Prisna beraturan adalah prisma tegak yang bidang alasnya berbentuk segi banyak beraturan.
4). Prisma miring/prisma condong adalah prisma yang rusuk tegaknya tidak tegak lurus dengan bidang alas.
5). Paralel epipedum ialah prisma yang bidang alasnya berbentuk jajar genjang.
6). Paralel epipedum tegak ialah prisma tegak yang bidang alasnya jajar genjang dan rusuk-rusuk tegaknya lurus bidang alas.
7). Paralel epipedum tegak dan siku-siku adalah balok
8). Paralel epipedum tegak siku-siku dan rusuknya sama adalah kubus.
9). Paralek epipedum tegak siku-siku dan semua bidang sisinya berbentuk belah ketupat disebut Rhomboeder.
10). Prisma terpancung adalah prisma yang bidang alas dan bidang atasnya tidak sejajar.

b. Sifat-Sifat Prisma
1). Semua bidang sisi tegaknya berebntuk jajar genjang (kecuali prisma terpancung )
2). Bidang alas dan bidang atas kongruen.
3). Panjang semua rusuk tegaknya sama.
4). Semua bidang diagonalnya berbentuk jajar genjang.
5). Banyaknya diagonal ruang dari prisma segi –n adalah ( n2 - 3n ) buah.
6). Banyaknya bidang diagonal dari prisma segi –n adalah ½ ( n2 - 3n ) buah.

c. Luas dan Volume
1). Luas sisi prisma
= luas alas + luas atas + luas selubung prisma
= 2 x luas alas + luas selubung prisma
2). Luas selubung untuk prisma tegak
= keliling alas x panjang rusuk tegak
3). Volume prisma tegak
= luas alas x tinggi


5. LIMAS
Limas adalah benda yang dibatasi oleh sebuah segi –n sebagai bidang dasar atau alas dan oleh bidang-bidang sisi tegak berbentuk segitiga yang alasnya berimpit dengan sisi-sisi segi –n puncaknya berimpit.
Nama limas ditentukan oleh bentuk bidang alasnya. Limas yang bidang alasnya berbentuk segitiga disebut limas segitiga. Limas segitiga disebut juga dengan bidang empat (tetrahedron). Bidang empat yang semua rusuknya sama panjang disebut bidang empat beraturan. Limas yang bidang alasnya berbentuk segi empat disebut limas segi empat.
a. Macam-Macam Limas
1). Limas Sisi-n Sembarang
Limas disebut limas sisi-n sembarang apabila :
 Alasnya sisi-n sembarang
 Puncaknya di titik sembarang
2). Limas Sisi-n Beraturan
Limas disebut limas sisi-n beraturan apabila :
 Alasnya sisi-n beraturan
 Puncaknya diproyeksikan pada pusat bidang alas.
3). Limas Terpancung
Jika sebuah limas diiris oleh sebuah bidang yang sejajar dengan bidang alas maka bagian limas yang terletak antara bidang irisan dengan bidang alas limas disebut limas terpancung.
b. Volume Limas
Volume limas = ⅓ x luas alas x tinggi

6. KERUCUT
Kerucut merupakan salah satu benda putar, yaitu suatu benda yang terjadi jika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya sebagai sumber putar. Berarti kerucut dibatasi oleh dua bidang , yaitu bidang lengkung yang disebut bidang lengkung kerucut dan sebuah bidang datar yang disebut bidang alas.
a. Volume Kerucut
Volume kerucut = ⅓ π R2 t
b. Kerucut terpancung
Kerucut terpancung adalah bagian dari kerucut yang diiris oleh sebuah bidang yang sejajar dengan bidang alasnya.
Volume kerucut terpancung : ⅓ π t ( R1² + R2² + R1 R2 )

7. BOLA
Bola merupakan benda putar, yaitu suatu benda yang terjadi bila suatu daerah setengah lingkaran diputar dengan garis tengah sebagai sumbu putar. Ini berarti bahwa bola adalah suatu benda yang dibatasi oleh suatu benda lengkung putar yang dibentuk oleh setengah lingkaran. Bidang lengkung disebut bidang bola yang kita singkat saja dengan bola.
Karena bola merupakan benda putar maka bola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap. Jarak yang sama disebut jari-jari bola dan titik tetap disebut pusat bola.
Jika suatu bola dipotong oleh sebuah bidang datar, bola tersebut terbagi atas dua bagian yang masing-masing disebut tembereng bola. Irisan bidang dengan bola adalah lingkaran dan lingkaran ini disebut bidang alas tembereng bola. Pada gambar diatas lingkaran (C,CA) yang ousatnya di C dengan jari-jari CA dan lingkaran (D,DB) yang pusatnya di D dengan jari-jari DB, keduanya merupakan alas tembereng bola. Jarak dari pusat lingkaran hingga titik potong poros dengan bidang tembereng bola disebut tinggi tembereng. Bagian bola antara dua bidang sejajar yang mengiris bola itu disebut keratan bola.
Luas keratan bola = luas tenbereng bola dengan alas lingkaran (C,CA) – luas
tembereng bola dengan alas lingkaran (D,DB)
= luas tembereng bola - luas tembereng bola 2
= 2π . R . t1 - 2π . R . T2
 Volume Bola
Juring bola adalah benda yang terdiri atas suatu tembereng bola dan suatu selubung kerucut yang lingkaran alasnya bersekutu dengan tembereng bola, sedang titik puncak kerucut berimpit dengan titik pusat bola.
Volume Bola = 4/3 π R2


C. PROYEKSI DAN SUDUT
1. PROYEKSI
Proyeksi Pada Bangun Ruang:
a. Proyeksi titik pada garis
b. Proyeksi titik pada bidang
c. Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyeksikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang.
1). Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis
2). Jika garis h ^ b maka proyeksi garis h pada bidang b berupa titik.
3). Jika garis g // bidang b maka g’ yaitu proyeksi garis g padab dan sejajar garis g
2. SUDUT
Sudut Pada Bangun Ruang:
a. Sudut antara dua garis
Besar sudut antara dua garis adalah besar sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut.
b. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis a dan bidang b dilambangkan (a,b) adalah sudut antara garis a dan proyeksinya pada b.
c. Sudut antara bidang dan bidang
Sudut antara bidang a dan bidang b adalah sudut antara garis g dan h, dimana g ^ (a,b) dan h ^ (a,b).


D. MENGGAMBAR BANGUN RUANG
1. Bidang Gambar
Yaitu bidang tempat gambar, misalnya permukaan papan tulis atau permukaan kertas gambar yang anda buat.
2. Bidang Frontal
yaitu bidang yang berimpit atau sejajar dengan bidang gambar. Bidang frontal memiliki sifat khusus, yaitu digambar dengan bentuk dan ukuran yang sebenarnya. Misalnya, panjang rusuk AB sama dengan panjang garis AB yang sebenarnya, yaitu 4 cm. Demikian juga ÐEAB yang besarnya 90° pada gambar besarnya juga 90°.
3. Garis Frontal
Yaitu garis yang letaknya pada bidang frontal.
4. Garis Orthogonal
Yaitu garis yang letaknya tegak lurus pada bidang frontal
5. Sudut Surut atau Sudut Simpang atau Sudut Menyisi
Yaitu sudut dalam gambar antara garis frontal horizontal arah ke kanan dan garis ortogonal arah ke belakang.
6. Perbandingan proyeksi atau perbandingan Ortogonal
Yaitu bilangan yang menyatakan perbandingan antara panjang sebuah garis ortogonal dalam gambar dengan panjang sebenarnya dari ruas garis ortogonal itu sendiri. Misalnya, panjang garis AD yang sebenarnya 4 cm, pada gambar AD digambar 2 cm maka dikatakan perbandingan proyeksinya ½.

E. JARAK PADA BANGUN RUANG
1. Jarak titik ke titik
Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB.
Jarak adalah panjangnya ruas garis hubung terpendek
2. Jarak Titik ke Garis
Jarak antara titik A dengan garis g adalah panjang ruas garis AP dimana titik P terletak pada g dan garis AP ┴ g
3. Jarak Titik ke Bidang
Jarak titik ke bidang adalah jarak tegak lurus dari titik ke bidang.
Catatan :
a. Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang apabila garis itu tegak lurus pada dua buah garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut.
b. Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang, maka garis itu tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada yang terletak pada bidang tersebut.
4. Jarak Dua Garis Bersilangan
Cara melukis dua garis bersilangan :
a. Buatlah bidang α melalui garis h dan sejajar garis g.
b. Ambillah titik A pada garis g, proyeksikan titik A ke bidang α.
c. Jika A` adalah proyeksi titik A pada bidang α, maka jarak g dan h sama dengan AA`.
5. Jarak Dua Bidang yang Sejajar
Jika bidang α sejajar dengan β, jarak keduanya adalah AB dengan garis AB tegak lurus bidang α dan garis AB tegak lurus bidang β.
d = AB = jarak antara bidang α dan bidang β

F. BESAR SUDUT PADA BANGUN RUANG
1. Sudut Antara Dua Garis
a. Apabila garis a dan b berpotongan di satu titik, maka sudut antara garis a dan b adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis a dan b. Biasanya diambil sudut yang lancip
b. Apabila garis a dan b bersilangan, maka sudut antara garis a dan b adalah sudut yang dibentuk oleh garis a` dan b` dimana a // a` dan b // b`.
2. Sudut Antara Garis dan Bidang
Sudut antara garis g dan bidang H dapat ditentukan melalui langkah berikut :
a. Pilihlah sembarang titik Q pada garis g.
b. Proyeksikan titik Q pada bidang H, misalnya titik R.
c. Sudut QPR adalah sudut antara garis g dengan bidang H.
Jadi, sudut antara garis g dengan bidang H adalah sudut yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksinya pada bidang H
3. Sudut Antara Bidang dan Bidang
Bidang H dan bidang V berpotongan pada garis AB. Untuk menentukan sudut antara bidang H dan bidang V adalah sebagai berikut :
a. Ambil sembarang titik pada garis AB, misalnya titik P!
b. Dari titik P dibuat dua buah garis yang masing-masing terletak pada bidang H dan bidang V serta tegak lurus pada garis AB. Jadi, PQ ┴ AB dan PR ┴ AB
c. Sudut RPQ = α adalah sudut antara bidang H dengan bidang V.

G. IRISAN BANGUN RUANG
Jika sebuah bangun ruang dipotong atau diiris oleh sebuah bidang, irisannya merupakan sebuah bidang yang dibatasi oleh garis-garis potong antar bidang dengan sisi-sisi bangun tersebut
Untuk menggambar irisan antara bidang dan bangun ruang dapat kita lakukan dengan menggambar garis potong antara bidang dan sisi-sisi bangun tersebut. Adapun langkah-langkah untuk melukis dapat dilakukan melalui beberapa cara, antara lain :
1. Dengan mencari sumbu afinitas (garis dasar)lebih dulu.
2. Dengan kesejajaran
3. Dengan pertolongan bidang diagonal
Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya.
Aksioma yang diperlukan dalam melukis bidang irisan:
1. Dua titik menentukan garis.
2. Garis dapat diperpanjang pada kedua ujungnya.
3. Bidang dapat diperluas.
Langkah melukis :
1. Pilih dua titik pada bidang irisan yang terletak sebidang pada bangun ruang.
2. Lukislah garis yang melalui dua titik tersebut.
3. Perpanjang garis-garis pada alas bangun ruang sehingga memotong garis pada langkah 2.
4. Hubungkan 2 titik baru pada bidang alas bangun ruang. Garis yang diperoleh adalah sumbu afinitas.
5. Lengkapi gambar irisan bidang tersebut.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar