Sabtu, 09 Januari 2010

LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA
Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang seluk-beluk logika matematika, perlu kita ketahui lebih dulu pengertian yang menjadi dasar pembahasan logika, yaitu kalimat terbuka dan pernyataan.
Dalam matematika dikenal dua jenis kalimat, yaitu kalimat tertutup atau biasa disebut pernyataan atau statement dan kalimat terbuka atau bukan pernyataan

1. PERNYATAAN
Bila kita mendengar tuturan “Jakarta ada di Pulau Jawa” atau membaca sebuah aksioma yang menyatakan “jumlah semua sudut suatu segitiga adalah 180°”, kita bisa menilai bahwa tuturan atau aksioma itu benar. Sebaliknya, bila kita mendengar seseorang mengatakan “ayam adalah binatang memamah biak” atau “air adalah benda padat” maka kita juga bisa langsung menilai, namun dengan penilaian yang tentunya salah. Penilaian benar dan salah di atas merupakan ciri dari jenis kalimat yang dalam matematika disebut pernyataan.
Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah bersamaan.

Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan ada dua dasar, yaitu dasar empiris dan dasar tak empiris.
a. Dasar Empiris
Kebenaran suatu pernyataan ditentukan kenyataan pada saat itu. Biasanya diadakan pengamatan lebih dahulu. Jadi, nilai kebenarannya bersifat relatif.
Contoh :
1). Budi sakit perut.
2). Bapak Kepala Sekolah berambut putih.
3). Kota Jakarta terkena bencana banjir

b. Dasar Tak Empiris
Kebenaran suatu pernyataan bersifat mutlak, tidak tergantung pada waktu dan tempat.
Contoh :
1). 4 adalah bilangan gelap.
2). Setahun ada 12 bulan.
3). 3² = 9

2. KALIMAT TERBUKA ATAU BUKAN PERNYATAAN
Pandanglah kalimat matematika 2x-3=7. Dalam kalimat matematika ini terdapat variabel yang belum diketahui nilainya. Kalimat ini kan benar jika x diganti 5. Untuk x yang lain, kalimat ini salah. Jadi kalimat ini bisa benar tetapi juga bisa salah. Kalimat seperti ini disebut kalimat terbuka. Kalimat tanya “siapa namamu?” atau kalimat perintah “tutup pintu itu!” tidak memberikan kesan benar atau salah. Kalimat matematika, kalimat tanya dan kalimat perintah yang diilustrasikan belum memberikan kesan benar atau salah.

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, apakah bernilai salah atau benar.

B. OPERASI PADA LOGIKA

1. NEGASI ( INGKARAN )
Jika diketahui pernyataan p, maka dapat dibentuk pernyataan baru yang mengingkari atau menyangkal pernyataan p tersebut. Pernyataan baru ini disebut negasi dari p atau ingkaran dari p. Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~p, dibaca tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p atau non-p.
Nilai kebenaran dari ingkaran p dengan pernyataan p jelas saling berlawanan, dan dapat disajikan dalam tabel kebenaran dari negasi,
Contoh :
a. Jika p : Kiki anak yang rajin.
maka ~ p : Kiki bukan anak yang rajin.
atau ~ p : Tidak benar bahwa Kiki anak yang rajin.
b. Jika p : Semua orang kaya hidupnya bahagia.
maka ~ p : Tidak Semua orang kaya hidupnya bahagia.
atau ~ p : Ada orang kaya hidupnya tidak bahagia.
atau ~ p : Beberapa orang kaya hidupnya tidak bahagia.

2. KONJUNGSI
Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru yang merupakan gabungan antara pernyataan p dan q dengan kata hubung “dan”. Pernyataan baru ini disebut konjungsi dari pernyataan p dan q, yang dinotasikan dengan , dibaca p dan q.
Nilai kebenaran konjungsi p Λ q bergantung pada nilai kebenaran p dan nilai kebenaran q.
Contoh :
a.p : Denpasar kota di Pulau Bali….................(Benar)
q : 2 + 3 = 5……………….……………........................(Benar)
pΛq : Denpasar kota di Pulau Bali dan 2 + 3 = 5....(Benar)
b.p : Ayam binatang menyusui……........……...........(Salah)
q : 4 bilangan prima……………………………..................(Salah)
pΛq : Ayam binatang menyusui dan 4 bilangan prima….(Salah)

3. DISJUNGSI
Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru dengan menggabungkan dua pernyataan itu dengan kata hubung “atau”. Pernyataan baru ini disebut disjungsi dari pernyataan p dan q, yang dinotasikan p v q, dibaca p atau q.
Contoh :
a.p : Jakarta ibukota Indonesia…............................(Benar)
q : Surabaya adalah kota pahlawan……….…………...……............(Benar)
pVq : Jakarta ibukota Indonesia atau Surabaya adalah kota
Pahlawan..............................................(Benar)
b.p : Matahari terbi dari timur.……..........................(Benar)
q : 2² = 8……………………………………….................................(Salah)
pVq : Matahari terbi dari timur atau 2² = 8 ………..…...…….....(Salah)

4. IMPLIKASI
Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru dalam bentuk “jika p maka q”. Pernyataan baru ini disebut implikasi dari pernyataan p dan q, yang dinotasikan dengan p → q, dibaca p maka q
• Pernyataan p disebut anteseden (sebab/alasan/hipotesis)
• Pernyataan q disebut konsekuen (akibat/kesimpulan/konklusi)
p → q dapat juga dibaca sebagai berikut:
a. p hanya jika q
b. p syarat cukup untuk q
c. q syarat perlu untuk p
d. q jika p
Contoh :
a. p : Denpasar ada di Pulau Bali......................(Benar)
q : 4² = 16……………………….....…….…………...……...............(Benar)
p→q : Denpasar ada di Pulau Bali, maka 4² = 16........(Benar)
b. p : Besi itu buah.……………….........…….................(Salah)
q : Besi itu enak rasanya….…………………..................(Salah)
p→q : Besi itu buah, maka besi itu enak rasanya ......(Benar)

5. BIIMPLIKASI
Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru : .
Pernyataan baru ini disebut implikasi dua arah atau biimplikasi atau bikondisional. Biimplikasi dari pernyataan p dan q, yang dinotasikan dengan p ↔ q, yang dapat dibaca sebagai :
a. p jika dan hanya jika q ;
b. p syarat cukup dan perlu untuk q ;
c. p ekuivalen dengan q
Contoh :
a. p : 3 x 4 =12.................................................(Benar)
q : 3 bilangan prima……….…….....…….…………...…....................(Benar)
p↔q : 3 x 4 =12 jika dan hanya jika 3 bilangan prima............(Benar)
b. p : Universitas Indonesia ada di Jakarta......................(Benar)
q : 6² = 12……………...….…………………..................................(Salah)
p↔q : Universitas Indonesia ada di Jakarta jika dan hanya
jika 6² = 12 .............................................(Benar)

C. INGKARAN DARI PERNYATAAN MAJEMUK

1. Ingkaran dari Konjungsi
Ingkaran dari p Λ q adalah ~p V ~q atau biasa ditulis ~( p Λ q ) ≡ ~p V ~q .
Contoh :
Carilah ingkaran/negasi dari :
a. Ali anak malas dan tidak sopan.
b. Hari ini mendung dan udara panas.
Jawab :
a. Ali anak yang tidak malas atau ali anak sopan.
b. Hari ini tidak mendung atau udara tidak panas.

2. Ingkaran dari Disjungsi
Ingkaran dari p v q adalah ~p Λ ~q atau biasa ditulis ~( p V q ) ≡ ~p Λ ~q : .
Contoh :
Carilah ingkaran/negasi dari :
a. Saya yang salah atau Anda yang benar.
b. Budi membaca majalah atau bermain game.
Jawab :
a. Saya yang tidak salah atau Anda yang tidak benar.
b. Budi tidak membaca majalah atau tidak bermain game.

3. Ingkaran dari Implikasi
Ingkaran dari p → q adalah p Λ ~q atau biasa ditulis : ~(p → q)≡ p Λ ~q
Contoh :
Carilah ingkaran/negasi dari :
a. Jika kamu hati-hati maka akan selamat.
b. Jika awan tebal maka suasana menjadi gelap.
Jawab :
a. Kamu hati-hati dan tidak akan selamat.
b. Awan tebal dan suasana menjadi tidak gelap.

4. Ingkaran dari Biimplikasi
Karena p↔q ≡ ( p→q ) Λ ( q→p) , maka ~ (p↔q) ≡ ~[( p→q ) Λ ( q→p)] .

Jadi,

~ (p↔q) ≡ (p Λ~q) V (q Λ ~p)

Contoh :
Carilah ingkaran/negasi dari :
a. Ayah pergi jika dan hanya jika ibu ikut.
b. x bilangan genap jika dan hanya jika x² bilangan genap.
Jawab :
a. - Ayah tidak pergi jika dan hanya jika ibu ikut.
- Ayah pergi jika dan hanya jika ibu tidak ikut.
b. - x bukan bilangan genap jika dan hanya jika x² bilangan genap.
- x bilangan genap jika dan hanya jika x² bukan bilangan genap.

D. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru, yaitu konvers, invers dan kontraposisi.
Jika “p → q” suatu implikasi maka didapat beberapa bentuk kalimat bersyarat.
a. q → p disebut konvers
b. ~p → ~q disebut invers
c. ~q → ~p disebut kontraposisi
Contoh :
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan “Jika ada gula maka ada semut”.
Jawab :
a. Konvers : Jika ada semut maka ada gula.
b. Invers : Jika tidak ada gula maka tidak ada semut.
c. Kontraposisi : Jika tidak ada semut maka tidak ada gula.

E. PERNYATAAN BERKUANTOR

1. PERNYATAAN BERKUANTOR
Pernyataan berkuator merupakan salah satu cara mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat tertutup / pernyataan, sehingga nilai kebenarannya dapat ditentukan. Terdapat dua jenis pernyataan berkuator, yaitu kuantor universal ( umum ) dan kuantor eksistensial ( khusus ).

a. Kuantor Universal (Umum)
Kuantor universal dilambangkan dengan dibaca ”untuk semua”. Jadi, suatu pernyataan disebut berkuantor universal apabila pernyataan itu mengandung kata ”semua” atau ”setiap”.
Jika p (x) adalah suatu kalimat terbuka maka . dibaca : untuk semua x berlaku . Sedangkan dibaca : untuk semua x anggota himpunan bilangan real berlaku .

b. Kuantor Eksistensial (Khusus)
Kuantor eksistensial dilambangkan dengan , dibaca beberapa atau ada (sekurang-kurangnya satu ).
Jadi, suatu pernyataan disebut berkuantor eksistensial apabila pernyataan itu mengandung kata ”beberapa” atau ”ada” atau ”terdapat”.
Jika p (x) adalah suatu kalimat terbuka maka dibaca: beberapa x berlakulah p (x).

2. INGKARAN PERNYATAAN BERKUATOR
Pernyataan berkuantor, seperti halnya pernyataan tunggal atau majemuk, dapat diingkarkan atau dinegasikan. Sebagaimana telah diketahui bahwa pernyataan berkuantor terdiri dari pernyataan berkuantor terdiri dari pernyataan berkuantor universal dan eksistensi, maka ingkaran/negasi dari pernyataan berkuantor juga terdiri dari dua ingkaran pernyataan berkuantor, yaitu ingkaran kuantor universal dan eksistensi.

a. Ingkaran Kuantor Universal
Jika kita memiliki pernyataan berkuantor universal , maka akan didapat Ingkaran / negasi berupa , maka kita akan memperoleh ingkaran berupa
Jadi, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensi.

b. Ingkaran Kuantor Eksistensial
Jika kita memilih pernyataan berkuantor eksistensial , maka akan didapat ingkaran/negasi berupa dan jika ada pernyataan berkuantor , maka kita akan memperoleh ingkaran berupa .
Jadi, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal.

F. PENARIKAN KESIMPULAN
Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya bahwa salah satu tujuan kita mempelajari logika matematika adalah supaya kita dapat menarik suatu kesimpulan dengan benar. Pada hakikatnya, kesimpulan adalah suatu pernyataan baru atau suatu penegasan dari pernyataan-pernyataan sebelumnya ( disebut premis ) yang berhubungan secara selaras. Penarikan kesimpulan yang mempunyai nilai benar dikatakan berlaku atau sah, jika semua premisnya benar maka konklusinya juga benar.
Berikut ini akan kita pelajari tiga macam aturan dasar penarikan kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens dan silogisme.
1. Modus Ponens
Aturan dasar penarikan kesimpulan yang disebut modus ponens menyatakan bahwa :

Jika p → q benar dan p benar maka pernyataan q bernilai benar.

Modus Ponens juga dapat dinyatakan sebagai berikut :
Premis ( 1 ) : p → q
Premis ( 2 ) : p
________________________
Kesimpulan : q
( Konklusi )
Contoh :
Premis ( 1 ) : Jika ibu pergi maka adik sedih.
Premis ( 2 ) : Ibu pergi.
____________________________________________________
Kesimpulan : Adik sedih.

2. Aturan Tollens
Aturan dasar penarikan kesimpulan yang disebut modus tollens menyatakan bahwa :

Jika p → q benar dan ~q benar maka pernyataan ~p bernilai benar.

Modus tollens dapat disajikan dengan :
Premis ( 1 ) : p → q
Premis ( 2 ) : ~q
________________________
Konklusi : ~p
Contoh :
Premis ( 1 ) : Jika hari hujan maka pejalan kaki berpayung.
Premis ( 2 ) : Pejalan kaki tidak berpayung.
Kesimpulan : Hari tidak hujan.

3. Silogisme
Aturan dasar penarikan kesimpulan yang disebut silogisme menyatakan bahwa :

Jika p → q dan q → r keduanya benar maka p → r juga benar

Silogisme dapat disajikan dengan :
Premis ( 1 ) : p → q
Premis ( 2 ) : q → r
____________________________
Konklusi : p → r

Contoh :
Premis ( 1 ) : Jika ayah pergi maka ibu tinggal dirumah.
Premis ( 2 ) : Jika ibu tinggal dirumah maka anak-anak senang.
Kesimpulan : Jika ayah pergi maka anak-anak senang.

G. BUKTI LANGSUNG DAN TIDAK LANGSUNG
Dalam matematika banyak kebenaran yang terkadang membutuhkan pembuktian. Teorema yang kebenarannya tak dirugakan lagi terkadang juga perlu dibuktikan untuk meyakinkan bila suatu pernyataan memang merupakan sebuah teorema. Materi ini akan mempelajari pembuktian dalam matematika yang terdiri dari pembuktian langsung dan tak langsung.

1. BUKTI LANGSUNG
Untuk membuktikan kebenaran suatu hasil yang baru ditemukan maka kita harus menunjukkan bahwa hasil baru ini adalah akibat dari pernyataan lain yang telah diterima sebagai kebenaran ( definisi, aksioma, sifat ) dan dalil-dalil lain yang telah dibuktikan benar.
2. BUKTI TIDAK LANGSUNG
a. Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan p, kita dapat melakukannya dengan membuktikan bahwa ~p salah. Karena ~p salah maka p haruslah benar. Pembuktian ini disebut bukti tidak langsung dengan kontradiksi.
b. Untuk membuktikan kebenaran p → q dapat dilakukan dengan membuktikan bahwa ~q → ~p benar. Karena ~q → ~p benar maka p → q juga benar. Pembuktian dalil dengan cara demikian disebut bukti tidak langsung dengan kontraposisi.
H. PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA
Perkataan induksi diartikan sebagai suatu rumus umum yang diturunkan dari beberapa hal khusus. Rumus atau sifat yang diturunkan dengan menggunakan induksi matematika berlaku untuk semua n bilangan asli.
Untuk membuktikan bahwa suatu rumus umum S (n) berlaku untuk semua bilangan asli n, dipelukan tahapan/langkah-langkah sebagai berikut :
1. Buktikan kebenaran rumus untuk n = 1
2. Anggaplah benar, bila nilai n = k
3. Buktikan kebenaran rumus untuk n = k + 1

I. BENTUK EKUIVALENSI
DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
Dua buah penyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan komponen-komponennya
Lambang dari dua buah pernyataan majemuk yang equivalen adalah
~ (p V q ) ≡ ( ~p Λ ~q)
p : Mama mengantar adik , q : Saya belajar
~(p V q ): Mama mengantar adik atau saya belajar
~ (p V q ) ≡ ( ~p Λ ~q) =Mama tidak mengantar adik dan saya tidak belajar

Tidak ada komentar:

Posting Komentar