Jumat, 15 Januari 2010

I. Nama Sekolah : SMA

II. Mata Pelajaran : Matematika

III. Kelas/Semester : X / II

IV. Standar Kompetensi :

4. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.

6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

NO

KD

TEKS

KEGIATAN

PENILAIAN

1

KD1

Logika Matematika

Pertemuan

Tugas

2

KD2

Trigonometri

Pertemuan

Tugas

3

KD3

Ruang Dimensi

Pertemuan

Tugas

Sabtu, 09 Januari 2010

TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRI

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.
Terhadap sudut a:
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut a
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut a
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA
Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0°, 30°, 45°,60°, dan 90°. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30°, 45°,dan 60°.

C. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUDUT BERELASI
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut  adalah sudut (90  ), (180  ), (360  ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut  dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut  dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.
1. Untuk sudut α di Kuadran I (0° < α < 90 °)
sin (90°- α) = cos α
cos (90°- α) = sin α
tan (90°- α) = cotan α
cotan (90°- α) = tan α
2. Untuk sudut α di Kuadran II (90° < α < 180 °)
Sin (180° - α) = sin α
Cos (180° - α) = - cos α
Tan (180° - α) = - tan α
Cotan (180° - α) = - cotan α
sin (90° + α) = cos α
cos (90° + α) = -sin α
tan (90° + α) = -cotan α
cotan (90° + α) = -tan α
3. Untuk sudut α di Kuadran III (180° < α < 270 °)
sin (180° + α) = -sin α
cos (180° + α) = -cos α
tan (180° + α) = tan α
cotan (180° + α) = cotan α
sin (270° - α) = -cos α
cos (270° - α) = -sin α
tan (270° - α) = cotan α
cotan (270° - α) = tan α
4. Untuk sudut α di Kuadran IV (270° < α < 360 °)
sin (360° - α) = -sin α
cos (360° - α) = cos α
tan (360° - α) = -tan α
cotan (360° - α) = -cotan α
Bila kita menggunakan garis mendatar sebagai sudut batas, yaitu 0°,180° dan 360° maka fungsi trigonometri tidak berubah.
Bila kita menggunakan garis tegak sebagai sudut batas, yaitu 90° dan 270° maka nama fungsi trigonometri berubah, yaitu :
1. sinus menjadi cosinus
2. cosinus menjadi sinus
3. tangen menjadi cotangen
Untuk periode fungsi trigonometri sinus dan cosinus dengan sudut lebih besar 360° atau tangen dan cotangen dengan sudut lebih besar 180°, maka perbandingan trigonometri tidak dapat diperoleh dengan aturan segitiga sehingga untuk memperoleh nilai perbandingan trigonometrinya digunakan fungsi trigonometri, dengan rumus :
sin α = sin (k.360° + α)
cos α = cos (k.360° + α) k € B
tan α = -tan (k.360° + α)
cotan α = -cotan (k.360° + α)
Penggunaan kalkulator
Untuk menghitung nilai fungsi trigonometri , kita dapat menggunakan kalkulator sebagai media atau alat bantu dalam mencari nilai fungsi-fungsi trigonometri tersebut. Cara mencari nilai fungsi trigonometri dengan kalkulator, umumnya terdapat pada buku petunjuk kalkulator. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Tekan tombol kalkulator sesuai urutan angka-angka dan titik (jika ada) dari kiri ke kanan.
2. Tekan tombol fungsi trigonometri yang akan dicari (sin,cos,tan). Hasil yang muncul pada layar merupakan hasil fungsi trigonometri suatu bilangan yang dimaksud.
3. Hal yang perlu diingat dalam mencari nilai fungsi trigonometri dengan kalkulator adalah satuan yang digunakan terdapat tiga satuan yang umumnya terdapat pada kalkulator,yaitu Degrees, Radian dan Gradien. Dua satuan yang awal (Degrees dan Radian) merupakan satuan fungsi trigonometri yang sering dipakai. Untuk menggunakan satuan Degrees, tekan tombol “mode” lalu tekan angka “4”, dan tekan angka “5” untuk satuan Radian. Ketentuan ini berlaku untuk scientific calculator Casio tipe fx-3600 PU.

D. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
1. Hubungan antara Derajat dengan Radian
Sebelum membahas grafik fungsi trigonometri perlu diketahui bahwa satuan ukuran sudut ada dua macam, yaitu derajat (°) dan radian.
1 putaran penuh = 360°
1° = 1 derajat = (1 / 360°) x satu putaran penuh
Sudut pusat lingkaran ( 1 putaran penuh ) = (2 πr / r) radian = 2π radian
Jadi, 360° = 2 π rad
180° = π rad
90° = π/2 rad
60° = π/3 rad, dan seterusnya
2. Menggambar Grafik Fungsi Trigonometri
Sumbu koordinat grafik fungsi trigonometri untuk sumbu x merupakan garis bilangan real yang menyatakan besar sudut dengan satuan panjang busur lingkaran satuan (lingkaran dengan jari-jari r = 1 satuan) dan sumbu y merupakan garis bilangan real yang menyatakan nilai fungsi tersebut.
Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :
Cara 1 : dengan membuat daftar nilai fungsi (tabel).
Cara 2 : dengan lingkaran satuan, yaitu denganmembuat lingkaran berjari-jari r = 1 satuan
panjang busur lingkaran merupakan satuan sudut pada sumbu x
3. Periode Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri
Secara umum dapat ditentukan bahwa :
a. f(x) = a sin x ( kx + b )
Periode = 2π ∕ k
Nilai maksimum = |a|
Nilai minimum = -|a|
b. f(x) = a cos x ( kx + b )
Periode = 2π ∕ k
Nilai maksimum = |a|
Nilai minimum = -|a|
c. f(x) = a tan x ( kx + b )
Periode = π ∕ k
Nilai maksimum = tidak ada
Nilai minimum = tidak ada

E. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.
1. Menyelesaikan persamaan sin x  sin 
Dengan mengingat rumus
sin (180 - )  sin  dan sin ( + k. 360)  sin , maka diperoleh:
Jika sin x  sin  maka
x   + k. 360 atau x  (180  ) + k. 360 , k  B
2. Menyelesaikan persamaan cos x  cos 
Dengan mengingat rumus
cos (- ) = cos  dan cos ( + k. 360)  cos , diperoleh
Jika cos x  cos  maka
x   + k. 360 atau x    + k. 360, k  B
3. Menyelesaikan persamaan tan x  tan 
Dengan mengingat rumus
tan (180 + )  tan  dan tan ( + k. 360)  tan , maka diperoleh:
Jika tan x  tan  maka
x   + k. 180 , k  B
Hubungan radian dengan derajat
360 = (2 π r/r) rad
= 2 rad
180 =  rad
pendekatan 1 rad = 57,3.
Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula menggunakan satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x  sin A maka penyelesaiannya adalah:
x  A + k. 2 atau x  ( A) + k. 2 , k  B
di mana x dan A masing-masing satuannya radian.

F. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Sebelum membuktikan suatu identitas perlu dipahami
terlebih dahulu cara penyelesaiannya
1. Sebaiknya kita mengubah satu ruas saja sehingga sama dengan ruas yang lain.
2. Boleh kedua-duanya diubah sehingga mendapatkan dua bangun ruas kiri dan kanan yang sama.
3. Jika selain sinus dan cosinus terdapat juga tangen, cotangen, secan dan cosecan, sebaiknya dijadikan sinus dan cosinus semuanya.

G. ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS
1. Aturan Sinus dalam Suatu Segitiga

2. Aturan Cosinus dalam Suatu Segitiga
Pada setiap segitiga ABC berlaku aturan cosinus :
a² = b² + c² - 2bc . cos α
b² = a² + c² - 2ac . cos β
c² = a² + b² - 2ab . cos γ

H. LUAS SEGITIGA
Luas Δ ABC = ½ bc . sin α
= ½ ab . sin γ
= ½ ac . sin β

RUANG DIMENSI

RUANG DIMENSI

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS ATAU BIDANG PADA BANGUN RUANG

1. Hubungan Antara Titik dan Garis
a. Terletak pada garis
Sebuah titik dapat terletak pada sebuah garis, misalnya pada gambar 1 titik E dan F terletak pada garis l.
b. Terletak diluar garis
Sebuah titik dikatakan terletak diluar sebuah garis apabila titik tersebut tidak terletak pada garis tersebut. Terletak diluar biasanya disingkat “di luar” misalnya titik A dan D di luar garis l.

2. Hubungan Antara Titik dan Bidang
a. Terletak pada bidang
Sebuah titik dapat terletak pada sebuah bidang, misalnya titik A, B, C dan D terletak pada bidang α.
b. Terletak diluar bidang
Sebuah titik dikatakan terletak diluar sebuah bidang apabila titik tersebut tidak terletak pada bidang tersebut, misalnya titik E, F, G dan H di luar bidang α.
Apabila dua buah titik terletak pada sebuah bidang maka garis yang melalui dua titik tersebut terletak pada bidang.
Apabila sebuah garis terletak pada sebuah bidang maka semua titik yang terletak pada garis tersebut terletak pada bidang.

3. Hubungan Antara Garis-Garis dalam Ruang
Apabila rusuk-rusuk pada sebuah balok diperpanjang sebuah garis lurus yang sering disingkat dengan “garis”.
Garis yang melalui titik A dan B dibebut garis AB

4. Hubungan Antara Bidang-Bidang
Daerah persegi panjang ABCD dapat diperluas terus-menerus tanpa batas, daerah yang terjadi disebut bidang datar, disingkat bidang. Bidang diberi nama dengan paling sedikit tiga titik yang terletak padanya, misalnya titik A, B, C dan D disebut bidang ABCD. Bidang biasanya digambar sebagai jajar genjang.
Kedudukan dua buah garis dalam ruang dapat sejajar, berpotongan dan bersilangan. Dua bidang disebut berimpit apabila semua titik dari kedua bidang tersebut berimpit.

5. Hubungan Antara Garis dan Bidang
Kedudukan sebuah garis dan sebuah bidang didalam ruang dapat dibedakan sebagai berikut :
a. Sejajar
Dikatakan sejajar jika garis dan bidang tersebut tidak mempunyai titik persekutuan.
b. Berpotongan
Dikatakan berpotongan jika garis dan bidang tersebut mempunyai tepat satu titik potong ( titik persekutuan ).
c. Terletak
Dikatakan terletak jika garis terletak pada bidang tersebut.

B. LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN RUANG
1. Pengertian-Pengertian pada Bangun Ruang
a. Sisi = bangun sisi
Yaitu daerah yang membatasi bangun ruang tersebut. (ABFE, DCGH dll )
b. Rusuk
Yaitu perpotongan antara dua sisi (rusuk berupa ruas garis).(AB, BC, CD, DA dll)
c. Titik sudut
Yaitu titik potong antara beberapa rusuk kubus. (A, B, C, D dan seterusnya)
d. Diagonal sisi = diagonal bidang
Yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada bidang sisi.(AC, BD, AE, BE dan lain-lain)
e. Diagonal ruang
Yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada bangun ruang tersebut ( AG, BH, DF, CE)
f. Bidang diagonal
Yaitu bidang yang melalui dua rusuk berhadapan yang tidak terletak pada satu bidang sisi (BCEH, ADFG, dan lain-lain)

2. KUBUS
Kubus dengan rusuk a cm maka :
Luas permukaan = 6a² cm²
Volume = a³ cm³

3. BALOK
Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah persegi panjang yang kongruen.
Luas permukaan = 2 (pl + pt + lt )
Volume = p x l x t


4. PRISMA
Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan oleh beberapa bidang yang memotong menurut garis-garis yang sejajar.
Dua bidang yang sejajar tersebut disebut bidang alas dan bidang atas, sedangkan bidang-bidang yang lain disebut bidang tegak atau sisi tegak.
a. Jenis-Jenis Prisma
Prisma ditentukan oleh bentuk bidang alas dan kedudukan rusuk tegak terhadap bidang alas.
1). Prisma segi –n adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk segi –n.
2). Prisma tegak adalah prisma yang rusuk tegaknya tegak lurus bidang alas.
3). Prisna beraturan adalah prisma tegak yang bidang alasnya berbentuk segi banyak beraturan.
4). Prisma miring/prisma condong adalah prisma yang rusuk tegaknya tidak tegak lurus dengan bidang alas.
5). Paralel epipedum ialah prisma yang bidang alasnya berbentuk jajar genjang.
6). Paralel epipedum tegak ialah prisma tegak yang bidang alasnya jajar genjang dan rusuk-rusuk tegaknya lurus bidang alas.
7). Paralel epipedum tegak dan siku-siku adalah balok
8). Paralel epipedum tegak siku-siku dan rusuknya sama adalah kubus.
9). Paralek epipedum tegak siku-siku dan semua bidang sisinya berbentuk belah ketupat disebut Rhomboeder.
10). Prisma terpancung adalah prisma yang bidang alas dan bidang atasnya tidak sejajar.

b. Sifat-Sifat Prisma
1). Semua bidang sisi tegaknya berebntuk jajar genjang (kecuali prisma terpancung )
2). Bidang alas dan bidang atas kongruen.
3). Panjang semua rusuk tegaknya sama.
4). Semua bidang diagonalnya berbentuk jajar genjang.
5). Banyaknya diagonal ruang dari prisma segi –n adalah ( n2 - 3n ) buah.
6). Banyaknya bidang diagonal dari prisma segi –n adalah ½ ( n2 - 3n ) buah.

c. Luas dan Volume
1). Luas sisi prisma
= luas alas + luas atas + luas selubung prisma
= 2 x luas alas + luas selubung prisma
2). Luas selubung untuk prisma tegak
= keliling alas x panjang rusuk tegak
3). Volume prisma tegak
= luas alas x tinggi


5. LIMAS
Limas adalah benda yang dibatasi oleh sebuah segi –n sebagai bidang dasar atau alas dan oleh bidang-bidang sisi tegak berbentuk segitiga yang alasnya berimpit dengan sisi-sisi segi –n puncaknya berimpit.
Nama limas ditentukan oleh bentuk bidang alasnya. Limas yang bidang alasnya berbentuk segitiga disebut limas segitiga. Limas segitiga disebut juga dengan bidang empat (tetrahedron). Bidang empat yang semua rusuknya sama panjang disebut bidang empat beraturan. Limas yang bidang alasnya berbentuk segi empat disebut limas segi empat.
a. Macam-Macam Limas
1). Limas Sisi-n Sembarang
Limas disebut limas sisi-n sembarang apabila :
 Alasnya sisi-n sembarang
 Puncaknya di titik sembarang
2). Limas Sisi-n Beraturan
Limas disebut limas sisi-n beraturan apabila :
 Alasnya sisi-n beraturan
 Puncaknya diproyeksikan pada pusat bidang alas.
3). Limas Terpancung
Jika sebuah limas diiris oleh sebuah bidang yang sejajar dengan bidang alas maka bagian limas yang terletak antara bidang irisan dengan bidang alas limas disebut limas terpancung.
b. Volume Limas
Volume limas = ⅓ x luas alas x tinggi

6. KERUCUT
Kerucut merupakan salah satu benda putar, yaitu suatu benda yang terjadi jika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya sebagai sumber putar. Berarti kerucut dibatasi oleh dua bidang , yaitu bidang lengkung yang disebut bidang lengkung kerucut dan sebuah bidang datar yang disebut bidang alas.
a. Volume Kerucut
Volume kerucut = ⅓ π R2 t
b. Kerucut terpancung
Kerucut terpancung adalah bagian dari kerucut yang diiris oleh sebuah bidang yang sejajar dengan bidang alasnya.
Volume kerucut terpancung : ⅓ π t ( R1² + R2² + R1 R2 )

7. BOLA
Bola merupakan benda putar, yaitu suatu benda yang terjadi bila suatu daerah setengah lingkaran diputar dengan garis tengah sebagai sumbu putar. Ini berarti bahwa bola adalah suatu benda yang dibatasi oleh suatu benda lengkung putar yang dibentuk oleh setengah lingkaran. Bidang lengkung disebut bidang bola yang kita singkat saja dengan bola.
Karena bola merupakan benda putar maka bola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap. Jarak yang sama disebut jari-jari bola dan titik tetap disebut pusat bola.
Jika suatu bola dipotong oleh sebuah bidang datar, bola tersebut terbagi atas dua bagian yang masing-masing disebut tembereng bola. Irisan bidang dengan bola adalah lingkaran dan lingkaran ini disebut bidang alas tembereng bola. Pada gambar diatas lingkaran (C,CA) yang ousatnya di C dengan jari-jari CA dan lingkaran (D,DB) yang pusatnya di D dengan jari-jari DB, keduanya merupakan alas tembereng bola. Jarak dari pusat lingkaran hingga titik potong poros dengan bidang tembereng bola disebut tinggi tembereng. Bagian bola antara dua bidang sejajar yang mengiris bola itu disebut keratan bola.
Luas keratan bola = luas tenbereng bola dengan alas lingkaran (C,CA) – luas
tembereng bola dengan alas lingkaran (D,DB)
= luas tembereng bola - luas tembereng bola 2
= 2π . R . t1 - 2π . R . T2
 Volume Bola
Juring bola adalah benda yang terdiri atas suatu tembereng bola dan suatu selubung kerucut yang lingkaran alasnya bersekutu dengan tembereng bola, sedang titik puncak kerucut berimpit dengan titik pusat bola.
Volume Bola = 4/3 π R2


C. PROYEKSI DAN SUDUT
1. PROYEKSI
Proyeksi Pada Bangun Ruang:
a. Proyeksi titik pada garis
b. Proyeksi titik pada bidang
c. Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyeksikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang.
1). Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis
2). Jika garis h ^ b maka proyeksi garis h pada bidang b berupa titik.
3). Jika garis g // bidang b maka g’ yaitu proyeksi garis g padab dan sejajar garis g
2. SUDUT
Sudut Pada Bangun Ruang:
a. Sudut antara dua garis
Besar sudut antara dua garis adalah besar sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut.
b. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis a dan bidang b dilambangkan (a,b) adalah sudut antara garis a dan proyeksinya pada b.
c. Sudut antara bidang dan bidang
Sudut antara bidang a dan bidang b adalah sudut antara garis g dan h, dimana g ^ (a,b) dan h ^ (a,b).


D. MENGGAMBAR BANGUN RUANG
1. Bidang Gambar
Yaitu bidang tempat gambar, misalnya permukaan papan tulis atau permukaan kertas gambar yang anda buat.
2. Bidang Frontal
yaitu bidang yang berimpit atau sejajar dengan bidang gambar. Bidang frontal memiliki sifat khusus, yaitu digambar dengan bentuk dan ukuran yang sebenarnya. Misalnya, panjang rusuk AB sama dengan panjang garis AB yang sebenarnya, yaitu 4 cm. Demikian juga ÐEAB yang besarnya 90° pada gambar besarnya juga 90°.
3. Garis Frontal
Yaitu garis yang letaknya pada bidang frontal.
4. Garis Orthogonal
Yaitu garis yang letaknya tegak lurus pada bidang frontal
5. Sudut Surut atau Sudut Simpang atau Sudut Menyisi
Yaitu sudut dalam gambar antara garis frontal horizontal arah ke kanan dan garis ortogonal arah ke belakang.
6. Perbandingan proyeksi atau perbandingan Ortogonal
Yaitu bilangan yang menyatakan perbandingan antara panjang sebuah garis ortogonal dalam gambar dengan panjang sebenarnya dari ruas garis ortogonal itu sendiri. Misalnya, panjang garis AD yang sebenarnya 4 cm, pada gambar AD digambar 2 cm maka dikatakan perbandingan proyeksinya ½.

E. JARAK PADA BANGUN RUANG
1. Jarak titik ke titik
Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB.
Jarak adalah panjangnya ruas garis hubung terpendek
2. Jarak Titik ke Garis
Jarak antara titik A dengan garis g adalah panjang ruas garis AP dimana titik P terletak pada g dan garis AP ┴ g
3. Jarak Titik ke Bidang
Jarak titik ke bidang adalah jarak tegak lurus dari titik ke bidang.
Catatan :
a. Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang apabila garis itu tegak lurus pada dua buah garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut.
b. Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang, maka garis itu tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada yang terletak pada bidang tersebut.
4. Jarak Dua Garis Bersilangan
Cara melukis dua garis bersilangan :
a. Buatlah bidang α melalui garis h dan sejajar garis g.
b. Ambillah titik A pada garis g, proyeksikan titik A ke bidang α.
c. Jika A` adalah proyeksi titik A pada bidang α, maka jarak g dan h sama dengan AA`.
5. Jarak Dua Bidang yang Sejajar
Jika bidang α sejajar dengan β, jarak keduanya adalah AB dengan garis AB tegak lurus bidang α dan garis AB tegak lurus bidang β.
d = AB = jarak antara bidang α dan bidang β

F. BESAR SUDUT PADA BANGUN RUANG
1. Sudut Antara Dua Garis
a. Apabila garis a dan b berpotongan di satu titik, maka sudut antara garis a dan b adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis a dan b. Biasanya diambil sudut yang lancip
b. Apabila garis a dan b bersilangan, maka sudut antara garis a dan b adalah sudut yang dibentuk oleh garis a` dan b` dimana a // a` dan b // b`.
2. Sudut Antara Garis dan Bidang
Sudut antara garis g dan bidang H dapat ditentukan melalui langkah berikut :
a. Pilihlah sembarang titik Q pada garis g.
b. Proyeksikan titik Q pada bidang H, misalnya titik R.
c. Sudut QPR adalah sudut antara garis g dengan bidang H.
Jadi, sudut antara garis g dengan bidang H adalah sudut yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksinya pada bidang H
3. Sudut Antara Bidang dan Bidang
Bidang H dan bidang V berpotongan pada garis AB. Untuk menentukan sudut antara bidang H dan bidang V adalah sebagai berikut :
a. Ambil sembarang titik pada garis AB, misalnya titik P!
b. Dari titik P dibuat dua buah garis yang masing-masing terletak pada bidang H dan bidang V serta tegak lurus pada garis AB. Jadi, PQ ┴ AB dan PR ┴ AB
c. Sudut RPQ = α adalah sudut antara bidang H dengan bidang V.

G. IRISAN BANGUN RUANG
Jika sebuah bangun ruang dipotong atau diiris oleh sebuah bidang, irisannya merupakan sebuah bidang yang dibatasi oleh garis-garis potong antar bidang dengan sisi-sisi bangun tersebut
Untuk menggambar irisan antara bidang dan bangun ruang dapat kita lakukan dengan menggambar garis potong antara bidang dan sisi-sisi bangun tersebut. Adapun langkah-langkah untuk melukis dapat dilakukan melalui beberapa cara, antara lain :
1. Dengan mencari sumbu afinitas (garis dasar)lebih dulu.
2. Dengan kesejajaran
3. Dengan pertolongan bidang diagonal
Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya.
Aksioma yang diperlukan dalam melukis bidang irisan:
1. Dua titik menentukan garis.
2. Garis dapat diperpanjang pada kedua ujungnya.
3. Bidang dapat diperluas.
Langkah melukis :
1. Pilih dua titik pada bidang irisan yang terletak sebidang pada bangun ruang.
2. Lukislah garis yang melalui dua titik tersebut.
3. Perpanjang garis-garis pada alas bangun ruang sehingga memotong garis pada langkah 2.
4. Hubungkan 2 titik baru pada bidang alas bangun ruang. Garis yang diperoleh adalah sumbu afinitas.
5. Lengkapi gambar irisan bidang tersebut.

LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA
Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang seluk-beluk logika matematika, perlu kita ketahui lebih dulu pengertian yang menjadi dasar pembahasan logika, yaitu kalimat terbuka dan pernyataan.
Dalam matematika dikenal dua jenis kalimat, yaitu kalimat tertutup atau biasa disebut pernyataan atau statement dan kalimat terbuka atau bukan pernyataan

1. PERNYATAAN
Bila kita mendengar tuturan “Jakarta ada di Pulau Jawa” atau membaca sebuah aksioma yang menyatakan “jumlah semua sudut suatu segitiga adalah 180°”, kita bisa menilai bahwa tuturan atau aksioma itu benar. Sebaliknya, bila kita mendengar seseorang mengatakan “ayam adalah binatang memamah biak” atau “air adalah benda padat” maka kita juga bisa langsung menilai, namun dengan penilaian yang tentunya salah. Penilaian benar dan salah di atas merupakan ciri dari jenis kalimat yang dalam matematika disebut pernyataan.
Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah bersamaan.

Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan ada dua dasar, yaitu dasar empiris dan dasar tak empiris.
a. Dasar Empiris
Kebenaran suatu pernyataan ditentukan kenyataan pada saat itu. Biasanya diadakan pengamatan lebih dahulu. Jadi, nilai kebenarannya bersifat relatif.
Contoh :
1). Budi sakit perut.
2). Bapak Kepala Sekolah berambut putih.
3). Kota Jakarta terkena bencana banjir

b. Dasar Tak Empiris
Kebenaran suatu pernyataan bersifat mutlak, tidak tergantung pada waktu dan tempat.
Contoh :
1). 4 adalah bilangan gelap.
2). Setahun ada 12 bulan.
3). 3² = 9

2. KALIMAT TERBUKA ATAU BUKAN PERNYATAAN
Pandanglah kalimat matematika 2x-3=7. Dalam kalimat matematika ini terdapat variabel yang belum diketahui nilainya. Kalimat ini kan benar jika x diganti 5. Untuk x yang lain, kalimat ini salah. Jadi kalimat ini bisa benar tetapi juga bisa salah. Kalimat seperti ini disebut kalimat terbuka. Kalimat tanya “siapa namamu?” atau kalimat perintah “tutup pintu itu!” tidak memberikan kesan benar atau salah. Kalimat matematika, kalimat tanya dan kalimat perintah yang diilustrasikan belum memberikan kesan benar atau salah.

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, apakah bernilai salah atau benar.

B. OPERASI PADA LOGIKA

1. NEGASI ( INGKARAN )
Jika diketahui pernyataan p, maka dapat dibentuk pernyataan baru yang mengingkari atau menyangkal pernyataan p tersebut. Pernyataan baru ini disebut negasi dari p atau ingkaran dari p. Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~p, dibaca tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p atau non-p.
Nilai kebenaran dari ingkaran p dengan pernyataan p jelas saling berlawanan, dan dapat disajikan dalam tabel kebenaran dari negasi,
Contoh :
a. Jika p : Kiki anak yang rajin.
maka ~ p : Kiki bukan anak yang rajin.
atau ~ p : Tidak benar bahwa Kiki anak yang rajin.
b. Jika p : Semua orang kaya hidupnya bahagia.
maka ~ p : Tidak Semua orang kaya hidupnya bahagia.
atau ~ p : Ada orang kaya hidupnya tidak bahagia.
atau ~ p : Beberapa orang kaya hidupnya tidak bahagia.

2. KONJUNGSI
Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru yang merupakan gabungan antara pernyataan p dan q dengan kata hubung “dan”. Pernyataan baru ini disebut konjungsi dari pernyataan p dan q, yang dinotasikan dengan , dibaca p dan q.
Nilai kebenaran konjungsi p Λ q bergantung pada nilai kebenaran p dan nilai kebenaran q.
Contoh :
a.p : Denpasar kota di Pulau Bali….................(Benar)
q : 2 + 3 = 5……………….……………........................(Benar)
pΛq : Denpasar kota di Pulau Bali dan 2 + 3 = 5....(Benar)
b.p : Ayam binatang menyusui……........……...........(Salah)
q : 4 bilangan prima……………………………..................(Salah)
pΛq : Ayam binatang menyusui dan 4 bilangan prima….(Salah)

3. DISJUNGSI
Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru dengan menggabungkan dua pernyataan itu dengan kata hubung “atau”. Pernyataan baru ini disebut disjungsi dari pernyataan p dan q, yang dinotasikan p v q, dibaca p atau q.
Contoh :
a.p : Jakarta ibukota Indonesia…............................(Benar)
q : Surabaya adalah kota pahlawan……….…………...……............(Benar)
pVq : Jakarta ibukota Indonesia atau Surabaya adalah kota
Pahlawan..............................................(Benar)
b.p : Matahari terbi dari timur.……..........................(Benar)
q : 2² = 8……………………………………….................................(Salah)
pVq : Matahari terbi dari timur atau 2² = 8 ………..…...…….....(Salah)

4. IMPLIKASI
Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru dalam bentuk “jika p maka q”. Pernyataan baru ini disebut implikasi dari pernyataan p dan q, yang dinotasikan dengan p → q, dibaca p maka q
• Pernyataan p disebut anteseden (sebab/alasan/hipotesis)
• Pernyataan q disebut konsekuen (akibat/kesimpulan/konklusi)
p → q dapat juga dibaca sebagai berikut:
a. p hanya jika q
b. p syarat cukup untuk q
c. q syarat perlu untuk p
d. q jika p
Contoh :
a. p : Denpasar ada di Pulau Bali......................(Benar)
q : 4² = 16……………………….....…….…………...……...............(Benar)
p→q : Denpasar ada di Pulau Bali, maka 4² = 16........(Benar)
b. p : Besi itu buah.……………….........…….................(Salah)
q : Besi itu enak rasanya….…………………..................(Salah)
p→q : Besi itu buah, maka besi itu enak rasanya ......(Benar)

5. BIIMPLIKASI
Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru : .
Pernyataan baru ini disebut implikasi dua arah atau biimplikasi atau bikondisional. Biimplikasi dari pernyataan p dan q, yang dinotasikan dengan p ↔ q, yang dapat dibaca sebagai :
a. p jika dan hanya jika q ;
b. p syarat cukup dan perlu untuk q ;
c. p ekuivalen dengan q
Contoh :
a. p : 3 x 4 =12.................................................(Benar)
q : 3 bilangan prima……….…….....…….…………...…....................(Benar)
p↔q : 3 x 4 =12 jika dan hanya jika 3 bilangan prima............(Benar)
b. p : Universitas Indonesia ada di Jakarta......................(Benar)
q : 6² = 12……………...….…………………..................................(Salah)
p↔q : Universitas Indonesia ada di Jakarta jika dan hanya
jika 6² = 12 .............................................(Benar)

C. INGKARAN DARI PERNYATAAN MAJEMUK

1. Ingkaran dari Konjungsi
Ingkaran dari p Λ q adalah ~p V ~q atau biasa ditulis ~( p Λ q ) ≡ ~p V ~q .
Contoh :
Carilah ingkaran/negasi dari :
a. Ali anak malas dan tidak sopan.
b. Hari ini mendung dan udara panas.
Jawab :
a. Ali anak yang tidak malas atau ali anak sopan.
b. Hari ini tidak mendung atau udara tidak panas.

2. Ingkaran dari Disjungsi
Ingkaran dari p v q adalah ~p Λ ~q atau biasa ditulis ~( p V q ) ≡ ~p Λ ~q : .
Contoh :
Carilah ingkaran/negasi dari :
a. Saya yang salah atau Anda yang benar.
b. Budi membaca majalah atau bermain game.
Jawab :
a. Saya yang tidak salah atau Anda yang tidak benar.
b. Budi tidak membaca majalah atau tidak bermain game.

3. Ingkaran dari Implikasi
Ingkaran dari p → q adalah p Λ ~q atau biasa ditulis : ~(p → q)≡ p Λ ~q
Contoh :
Carilah ingkaran/negasi dari :
a. Jika kamu hati-hati maka akan selamat.
b. Jika awan tebal maka suasana menjadi gelap.
Jawab :
a. Kamu hati-hati dan tidak akan selamat.
b. Awan tebal dan suasana menjadi tidak gelap.

4. Ingkaran dari Biimplikasi
Karena p↔q ≡ ( p→q ) Λ ( q→p) , maka ~ (p↔q) ≡ ~[( p→q ) Λ ( q→p)] .

Jadi,

~ (p↔q) ≡ (p Λ~q) V (q Λ ~p)

Contoh :
Carilah ingkaran/negasi dari :
a. Ayah pergi jika dan hanya jika ibu ikut.
b. x bilangan genap jika dan hanya jika x² bilangan genap.
Jawab :
a. - Ayah tidak pergi jika dan hanya jika ibu ikut.
- Ayah pergi jika dan hanya jika ibu tidak ikut.
b. - x bukan bilangan genap jika dan hanya jika x² bilangan genap.
- x bilangan genap jika dan hanya jika x² bukan bilangan genap.

D. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru, yaitu konvers, invers dan kontraposisi.
Jika “p → q” suatu implikasi maka didapat beberapa bentuk kalimat bersyarat.
a. q → p disebut konvers
b. ~p → ~q disebut invers
c. ~q → ~p disebut kontraposisi
Contoh :
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan “Jika ada gula maka ada semut”.
Jawab :
a. Konvers : Jika ada semut maka ada gula.
b. Invers : Jika tidak ada gula maka tidak ada semut.
c. Kontraposisi : Jika tidak ada semut maka tidak ada gula.

E. PERNYATAAN BERKUANTOR

1. PERNYATAAN BERKUANTOR
Pernyataan berkuator merupakan salah satu cara mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat tertutup / pernyataan, sehingga nilai kebenarannya dapat ditentukan. Terdapat dua jenis pernyataan berkuator, yaitu kuantor universal ( umum ) dan kuantor eksistensial ( khusus ).

a. Kuantor Universal (Umum)
Kuantor universal dilambangkan dengan dibaca ”untuk semua”. Jadi, suatu pernyataan disebut berkuantor universal apabila pernyataan itu mengandung kata ”semua” atau ”setiap”.
Jika p (x) adalah suatu kalimat terbuka maka . dibaca : untuk semua x berlaku . Sedangkan dibaca : untuk semua x anggota himpunan bilangan real berlaku .

b. Kuantor Eksistensial (Khusus)
Kuantor eksistensial dilambangkan dengan , dibaca beberapa atau ada (sekurang-kurangnya satu ).
Jadi, suatu pernyataan disebut berkuantor eksistensial apabila pernyataan itu mengandung kata ”beberapa” atau ”ada” atau ”terdapat”.
Jika p (x) adalah suatu kalimat terbuka maka dibaca: beberapa x berlakulah p (x).

2. INGKARAN PERNYATAAN BERKUATOR
Pernyataan berkuantor, seperti halnya pernyataan tunggal atau majemuk, dapat diingkarkan atau dinegasikan. Sebagaimana telah diketahui bahwa pernyataan berkuantor terdiri dari pernyataan berkuantor terdiri dari pernyataan berkuantor universal dan eksistensi, maka ingkaran/negasi dari pernyataan berkuantor juga terdiri dari dua ingkaran pernyataan berkuantor, yaitu ingkaran kuantor universal dan eksistensi.

a. Ingkaran Kuantor Universal
Jika kita memiliki pernyataan berkuantor universal , maka akan didapat Ingkaran / negasi berupa , maka kita akan memperoleh ingkaran berupa
Jadi, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensi.

b. Ingkaran Kuantor Eksistensial
Jika kita memilih pernyataan berkuantor eksistensial , maka akan didapat ingkaran/negasi berupa dan jika ada pernyataan berkuantor , maka kita akan memperoleh ingkaran berupa .
Jadi, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal.

F. PENARIKAN KESIMPULAN
Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya bahwa salah satu tujuan kita mempelajari logika matematika adalah supaya kita dapat menarik suatu kesimpulan dengan benar. Pada hakikatnya, kesimpulan adalah suatu pernyataan baru atau suatu penegasan dari pernyataan-pernyataan sebelumnya ( disebut premis ) yang berhubungan secara selaras. Penarikan kesimpulan yang mempunyai nilai benar dikatakan berlaku atau sah, jika semua premisnya benar maka konklusinya juga benar.
Berikut ini akan kita pelajari tiga macam aturan dasar penarikan kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens dan silogisme.
1. Modus Ponens
Aturan dasar penarikan kesimpulan yang disebut modus ponens menyatakan bahwa :

Jika p → q benar dan p benar maka pernyataan q bernilai benar.

Modus Ponens juga dapat dinyatakan sebagai berikut :
Premis ( 1 ) : p → q
Premis ( 2 ) : p
________________________
Kesimpulan : q
( Konklusi )
Contoh :
Premis ( 1 ) : Jika ibu pergi maka adik sedih.
Premis ( 2 ) : Ibu pergi.
____________________________________________________
Kesimpulan : Adik sedih.

2. Aturan Tollens
Aturan dasar penarikan kesimpulan yang disebut modus tollens menyatakan bahwa :

Jika p → q benar dan ~q benar maka pernyataan ~p bernilai benar.

Modus tollens dapat disajikan dengan :
Premis ( 1 ) : p → q
Premis ( 2 ) : ~q
________________________
Konklusi : ~p
Contoh :
Premis ( 1 ) : Jika hari hujan maka pejalan kaki berpayung.
Premis ( 2 ) : Pejalan kaki tidak berpayung.
Kesimpulan : Hari tidak hujan.

3. Silogisme
Aturan dasar penarikan kesimpulan yang disebut silogisme menyatakan bahwa :

Jika p → q dan q → r keduanya benar maka p → r juga benar

Silogisme dapat disajikan dengan :
Premis ( 1 ) : p → q
Premis ( 2 ) : q → r
____________________________
Konklusi : p → r

Contoh :
Premis ( 1 ) : Jika ayah pergi maka ibu tinggal dirumah.
Premis ( 2 ) : Jika ibu tinggal dirumah maka anak-anak senang.
Kesimpulan : Jika ayah pergi maka anak-anak senang.

G. BUKTI LANGSUNG DAN TIDAK LANGSUNG
Dalam matematika banyak kebenaran yang terkadang membutuhkan pembuktian. Teorema yang kebenarannya tak dirugakan lagi terkadang juga perlu dibuktikan untuk meyakinkan bila suatu pernyataan memang merupakan sebuah teorema. Materi ini akan mempelajari pembuktian dalam matematika yang terdiri dari pembuktian langsung dan tak langsung.

1. BUKTI LANGSUNG
Untuk membuktikan kebenaran suatu hasil yang baru ditemukan maka kita harus menunjukkan bahwa hasil baru ini adalah akibat dari pernyataan lain yang telah diterima sebagai kebenaran ( definisi, aksioma, sifat ) dan dalil-dalil lain yang telah dibuktikan benar.
2. BUKTI TIDAK LANGSUNG
a. Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan p, kita dapat melakukannya dengan membuktikan bahwa ~p salah. Karena ~p salah maka p haruslah benar. Pembuktian ini disebut bukti tidak langsung dengan kontradiksi.
b. Untuk membuktikan kebenaran p → q dapat dilakukan dengan membuktikan bahwa ~q → ~p benar. Karena ~q → ~p benar maka p → q juga benar. Pembuktian dalil dengan cara demikian disebut bukti tidak langsung dengan kontraposisi.
H. PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA
Perkataan induksi diartikan sebagai suatu rumus umum yang diturunkan dari beberapa hal khusus. Rumus atau sifat yang diturunkan dengan menggunakan induksi matematika berlaku untuk semua n bilangan asli.
Untuk membuktikan bahwa suatu rumus umum S (n) berlaku untuk semua bilangan asli n, dipelukan tahapan/langkah-langkah sebagai berikut :
1. Buktikan kebenaran rumus untuk n = 1
2. Anggaplah benar, bila nilai n = k
3. Buktikan kebenaran rumus untuk n = k + 1

I. BENTUK EKUIVALENSI
DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
Dua buah penyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan komponen-komponennya
Lambang dari dua buah pernyataan majemuk yang equivalen adalah
~ (p V q ) ≡ ( ~p Λ ~q)
p : Mama mengantar adik , q : Saya belajar
~(p V q ): Mama mengantar adik atau saya belajar
~ (p V q ) ≡ ( ~p Λ ~q) =Mama tidak mengantar adik dan saya tidak belajar